Seien $z_1,z_2,z_3\in\C$. Unter der Strecke zwischen $z_1$ und
$z_2$ bzw. dem Dreieck mit den Eckpunkten $z_1,z_2,z_3$
versteht man die Mengen
\begin{eqnarray*}
[z_1,z_2]&\colon=&
\{t_1z_1+t_2z_2:\,t_1,t_2\geq0,\,t_1+t_2=1\}\quad\mbox{bzw.}\\
\D(z_1,z_2,z_3)&\colon=&
\{t_1z_1+t_2z_2+t_3z_3:\,t_1,t_2,t_3\geq0,\,t_1+t_2+t_3=1\}~.
\end{eqnarray*}
Die Strecken $[z_1,z_2],[z_2,z_3]$ und $[z_3,z_1]$ nennt man die
Seiten des Dreiecks. Zeigen Sie:
$$
h\colon=\inf\{|(1-t)z_1+tz_2|:t\in\R\}
=\frac{|\Im(z_1\bar z_2)|}{|z_2-z_1|}~.
$$
$h$ heißt die Höhe des Dreiecks $\D(0,z_1,z_2)$ auf die
Seite $[z_1,z_2]$.
Sei $f:\R\rar\R$ die Abbildung $f(t)=|z_1+t(z_2-z_1)|^2$, dann ist
$f(t)=|z_1|^2+t^2|z_2-z_1|^2+2t\Re(z_1(\bar z_2-\bar z_1))$,
$f^\prime(t)=2t|z_2-z_1|^2+2\Re(z_1(\bar z_2-\bar z_1))$
und $f^\dprime(t)=2|z_2-z_1|^2$. Da $z_1\neq z_2$,
ist $f^\dprime$ strikt positiv und damit besitzt $f$ in $T$ genau
dann ein Minimum, wenn $f^\prime(T)=0$, also:
$$
0=T|z_2-z_1|^2+\Re(z_1\bar z_2)-|z_1|^2
\quad\mbox{i.e.}\quad
T=\frac{|z_1|^2-\Re(z_1\bar z_2)}{|z_2-z_1|^2}~.
$$
Das Minimum ist damit: $h^2=f(T)$.
\begin{eqnarray*}
|z_2-z_1|^2f(T)
&=&|z_1|^2|z_2-z_1|^2-2|z_1|^4+2|z_1|^2\Re(z_1\bar z_2)+|z_1|^4\\
&&-2|z_1|^2\Re(z_1\bar z_2)+\Re(z_1\bar z_2)^2+2|z_1|^2\Re(z_1\bar z_2)
-2\Re(z_1\bar z_2)^2\\
&=&-|z_1|^4+|z_1|^2|z_2-z_1|^2+|z_1|^2\Re(z_1\bar z_2)-\Re(z_1\bar z_2)^2\\
&=&|z_1|^2(-|z_1|^2+|z_2-z_1|^2+2\Re(z_1\bar z_2))-\Re(z_1\bar z_2)^2\\
&=&|z_1|^2|z_1|^2-\Re(z_1\bar z_2)^2
=\Im(z_1\bar z_2)^2~.
\end{eqnarray*}