Seien $z_1,z_2,1$ die Ecken eines Dreiecks $\D$ in $\C$ mit $|z_1|,|z_2| < 1$. Zeigen Sie, daß es eine positive Konstante $C$ gibt, so daß für alle $z\in\D$: $|1-z|\leq C(1-|z|)$.
Sei $z=re^{i\p}$, $\b_1$ der Winkel des Dreiecks $e^{i\vp},1,z$ bei $e^{i\vp}$ und $\b_2$ der Winkel des Dreiecks $e^{i\vp},1,z$ bei $1$. Da $\vp/2+\pi/2+\b_1=\pi$ und $\vp/2+\pi/2+\b_2+\psi=\pi$ folgt nach dem Sinussatz:
$$
\frac{|1-z|}{1-|z|}
=\frac{\sin\b_1}{\sin\b_2}
=\frac{\sin(\pi/2-\vp/2)}{\sin(\pi/2-\vp/2-\psi)}
$$
Sei $R=\max\{|z_1|,|z_2|\}$ und $\sin\a=R$, $\a\in(0,\pi/2)$:
$$
\limsup_{r\uar1}\frac{|1-z|}{1-r}
=\frac1{\sqrt{1-R^2}}~.
$$