Sei $c_{n+1}\geq c_n\geq c_{n-1}\geq\cdots\geq c_0\geq0$ und
$p(z)\colon=\sum_{j=0}^nc_jz^j$. Dann liegen sämtliche Nullstellen
in $\bar D=\{z\in\C:|z|\leq1\}$.
Sei o.B.d.A. $c_0 > 0$ und für $k\geq0$:
$Z_k=1+\cdots+z^k=(z^{k+1}-1)/(z-1)$. Dann gilt nach der Abelschen Summationsformel:
\begin{eqnarray*}
p(z)
&=&\sum_{j=0}^nc_jz^j
=Z_nc_{n+1}-\sum_{j=0}^nZ_j(c_{j+1}-c_j)\\
&=&\Big((z^{n+1}-1)c_{n+1}-\sum_{j=0}^n(z^{j+1}-1)(c_{j+1}-c_j)\Big)(1-z)^{-1}\\
&=&\Big(z^{n+1}c_{n+1}-\sum_{j=0}^nz^{j+1}(c_{j+1}-c_j)-c_0
\Big)(1-z)^{-1}
\end{eqnarray*}
Damit folgt für $|z| > 1$:
\begin{eqnarray*}
|p(z)||z-1|
&\geq&|z^{n+1}|c_{n+1}-\sum_{j=0}^n|z^{j+1}|(c_{j+1}-c_j)-c_0\\
&\geq&|z^{n+1}|c_{n+1}-(c_{n+1}-c_0)\sup_{0\leq j\leq n}|z^{j+1}|-c_0
\geq(|z^{n+1}|-1)c_0 > 0
\end{eqnarray*}