$f:I\rar X$ ist genau dann meßbar, wenn für alle Borelmengen $A$ in $X$ gilt: $[f\in A]$ ist eine meßbare Teilmenge von $I$.
Da die Borelmengen von $X$ die von den offenen Teilmengen von $X$ erzeugte $\s$-Algebra sind, genügt es zu zeigen, daß für jede offene Teilmenge $U$ in $X$ gilt: $[f\in U]$ ist eine meßbare Teilmenge von $I$. Weil $X$ separabel ist, gibt es eine höchstens abzählbare Teilmenge $x_n$, so daß $U=\bigcup B_{r_n}(x_n)$, also:
$$
[f\in U]
=\bigcup[f\in B_{r_n}(x_n)]
$$
und da $[f\in B_{r_n}(x_n)]=\{t:\norm{f(t)-x_n} < r_n\}$, ist $[f\in U]$ meßbar. Umgekehrt folgt aus der Stetigkeit von $x^*\in X^*$ für alle Borelmengen $B$ von $\C$: $A\colon=[x^*\in B]$ ist eine Borelmenge in $X$ und damit ist
$$
[x^*\circ f\in B]=[f\in A]
$$
eine Borelmenge in $I$.