Seien $z_0,w\in\C\sm\{0\}$ und $z_{k+1}=\frac12(z_k+w/z_k)$. 1. Konvergiert die Folge $z_k$ gegen $a$, so gilt: $a^2=w$. 2. Sei $a^2=w$; falls $|z_0-a| < |z_0+a|$, dann konvergiert $z_k$ gegen $a$; falls $|z_0-a| > |z_0+a|$, dann konvergiert $z_k$ gegen $-a$; 3. Falls $|z_0-a|=|z_0+a|$, dann divergiert $z_k$.
Sei $w\neq0$ und $f(z)=(z+w/z)/2$, dann ist $z_{k+1}=f(z_k)$.
Konvergiert $z_k$ gegen $a$, so
folgt: $z\neq0$, denn falls $|z_k| < \e$, dann ist $|z_{k+1}|\geq|w|/2\e-\e/2$
und dies ist größer als $\e$ falls $4\e^2 < |w|$. Da $f$ auf $\C\sm\{0\}$
stetig ist, folgt: $f(z_k)\to f(a)$, also: $a=f(a)$, i.e. $a^2=w$.
2. Sei $|z_0-a| < |z_0+a|$, dann folgt für $w_k\colon=(z_k-a)/(z_k+a)$ wegen
$w=a^2$:
$$
w_{k+1}
=\frac{z_k^2+a^2-2az_k}{z_k^2+a^2+2az_k}
=\Big(\frac{z_k-a}{z_k+a}\Big)^2
=w_k^2
$$
3. Falls $|w_0|=1$, dann folgt $|w_k|=1$, also kann $z_k$ weder nach $a$ noch nach
$-a$ konvergieren.