Sei $u:\R^+\rar X$ eine glatte Funktion und $C > 1$. Falls
für alle $t > 0$:
$$
\tnorm{u^{(n)}(t)}\leq(C/t)^nn!
$$
dann gibt es eine auf $\O\colon=[|\Im z| < |z|/C]$ analytische Funktion $f:\O\rar X$,
mit $f|\R^+=u$. Hinweis: Die Taylor-Reihe von $u$ im Punkt $t\in\R^+$ definiert eine
analytische Funktion $f_t$ auf der Kreisscheibe um $t$ mit dem Radius $t/C$ und
$f_t$ und $f_s$ stimmen auf $B(t,t/C)\cap B(s,s/C)$ überein; ferner ist
$\bigcup_{t > 0} B(t,t/C)=\O$.
Zunächst ist $u$ auf $\R^+$ analytisch. Sei für $t > 0$:
$$
f_t(z)\colon=\sum_n\frac{u^{(n)}}{n!}(z-t)^n,
$$
dann ist $f_t$ auf $B(t,t/C)$ analytisch und stimmt auf $B(t,t/C)\cap\R^+$ mit $u$ überein; somit stimmen aber auch $f_t$ und $f_s$ auf $B(t,t/C)\cap B(s,s/C)\cap\R^+$ überein, also auch auf $B(t,t/C)\cap B(s,s/C)$ und folglich ist auf $\O\colon=\bigcup_{t > 0}B(t,t/C)$ eine analytische Funktion $f$ definiert, die auf $\R^+$ mit $u$ übereinstimmt. Schließlich liegt $z=x+iy$ genau dann in $\O$, wenn $|y|/|z|\leq(t/C)/t=1/C$.