Sei $f\in L_1(\R)$ und $R_yf(x)\colon=f(y+x)$. Berechnen Sie $\int_0^\infty R_yf e^{-y}\,dy$ für $f(x)=e^{-|x|}$.
$(x,y)\mapsto e^{-|y+x|}e^{-y}$ ist über $\R\times\R^+$ integrierbar, also
gilt für fast alle $x\in\R$:
$$
\Big(\int_0^\infty R_yf e^{-y}\,dy\Big)(x)
=\int_0^\infty e^{-|y+x|-y}\,dy
$$
Ist $x < 0$, so ist $-|y+x|-y=x$ für $y\leq-x$ und $-|y+x|-y=-2y-x$ für $y > -x$. Das letzte Integral ist daher $-xe^x+e^x/2$. Falls $x > 0$, dann ist es gleich $e^{-x}/2$.