Exam

Sei

a > 0

. Zeigen Sie, daß die durch

F (z) = \int_{R} e^{- a (t + z)^{2}} d t

, definierte Funktion

F : C \to C

konstant ist, d.h.

F^{'} (z) = 0

. Hinweis: Für

z = x + i y

ist

e^{z} = e^{x} (\cos y + i \sin y)

; zeigen Sie damit, daß die Ableitung von

z \mapsto e^{- a (t + z)^{2}}

gegeben ist durch

- 2 a (t + z) e^{- a (t + z)^{2}}

und daß sie mit der Ableitung von

t \mapsto e^{- a (t + z)^{2}}

übereinstimmt!

Zunächst ist für

z = x + i y

:

| e^{- a (t + z)^{2}} | = e^{- a (t + x)^{2} + a y^{2}}

und damit ist

t \mapsto e^{- a (t + z)^{2}}

mit all seinen Ableitungen (nach

z

) integrierbar (über

t \in R

). Ferner ist

F^{'} (z) = \int_{R} - 2 a (t + z) e^{- a (t + z)^{2}} d t = \int_{R} \partial_{t} e^{- a (t + z)^{2}} d t = 0 .

Da

C

zusammenhängend ist, muß

F

konstant sein.