Sei $f\in L_1(\R^n)$, so daß der von den Funktionen $L_xf(y)\colon=f(y-x)$, $y\in\R^n$, erzeugte Unterraum $E$ dicht ist in $L_1(\R^n)$. Dann besitzt $\wh f$ keine Nullstelle. Es gilt auch die Umkehrung, d.h. $E$ ist genau dann dicht in L_1(\R^n)$, wenn $\wh f$ keine Nullstelle besitzt.
Angenommen $\wh f(x_0)=0$, dann gibt es zu
jedem $g\in L_1(\R^n)$ und jedem $\e > 0$ endlich viele $x_1,\ldots,x_m\in\R^n$
und $\l_1,\ldots,\l_m\in\R$, so daß
$$
\norm{g-\sum\l_jL_{x_j}f}_1<\e~.
$$
Da die Fourier-Transformation eine lineare Kontraktion von $L_1(\R^n)$ in $C_0(\R^n)$ ist und $\wh{L_xf}(y)=e^{-i\la x,y\ra}\wh f(y)$, folgt:
$$
\norm{\wh g-\sum\l_je_{-x_j}\wh f}_\infty<\e
$$
und aus $\wh f(x_0)=0$ erhalten wir dann: $\wh g(x_0)=0$ für alle $g\in L_1(\R^n)$.
Das Problem bei der Umkehrung ist, daß die Fourier-Transformierte einer Funktion $g\in L_\infty(\R^n)$ keine Funktion, sondern eine Distribution ist. Daher zeigt man diese Implikation am günstigsten mithilfe von Distributionen.