Sei $\TT\colon=\R/2\pi\Z$ der Torus (mit der Addition modulo $2\pi$) und $f\in L_1(\TT)$. Der von den Funktionen $L_xf(y)\colon=f(y-x)$, $x\in\TT$, erzeugte Unterraum $E$ ist genau dann dicht in $L_1(\TT)$, wenn ihre Fourier-Transformierte $\wh f:\Z\rar\C$,
$$
\wh f(n)\colon=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(x)e^{-inx}\,dx
$$
keine Nullstelle besitzt.
Sei $g\in L_\infty(\TT)$, so daß für alle $x\in\TT$: $\int f(y-x)g(-y)\,dy=0$, i.e. $f*g(-x)=0$, also: $\wh f\wh g=0$. Da für alle $n\in\Z$: $\wh f(n)\neq0$, folgt für alle $n\in\Z$: $\wh g(n)=0$ und damit: $g=0$.
Besitzt umgekehrt $\wh f$ die Nullstelle $m\in\Z$, so besitzt auch die Fouriertransformierte von $L_xf$ die Nullstelle $m$, denn
$$
\wh{L_xf}(m)=e^{-imx}\wh f(m)
$$
und folglich gilt für alle $h\in E$: $\wh h(m)=0$. Wäre $E$ dicht in $L_1(\TT)$, dann wäre $\wh E$ dicht in $c_0(\Z)$, denn die Fourier Transformation ist eine stetige lineare Abbildung von $L_1(\TT)$ auf einen dichten Teilraum von $c_0(\Z)$; andererseits gilt für alle $h\in E$: $\wh h(m)=0$.
2. Für $L_p(\TT)$, $p\in[1,\infty)$, gilt dasselbe Resultat, weil $L_p(\TT)\sbe L_1(\TT)$ und somit ist die Fourier-Transformierte einer Funktion $f\in L_p(\TT)$ stets eine Funktion in $c_0(\Z)$.