Sei $F:\R\rar\R$ die Funktion
$$
F(x)\colon=\int_0^\infty e^{-t^2-x^2/t^2}\,dt~.
$$
Zeigen Sie mittels der Substitutionsregel: $F^\prime(x)=-2F(x)$ und damit: $F(x)=\sqrt\pi\,e^{-2x}/2$.
Die Ableitung von $F$ ist:
$$
F^\prime(x)
=-2x\int_0^\infty e^{-t^2-x^2/t^2}/t^2\,dt
$$
Substituiere $t=x/s$, dann folgt: $F^\prime(x)=-2F(x)$, also: $F(x)=F(0)e^{-2x}$.