Beweisen Sie den Peripheriewinkelsatz, d.h. die Menge aller Punkte $z\in\C$,
für die $|\arg((1+z)/(1-z))|=\theta\in(0,\pi)$ besteht aus zwei Kreisen mit den
Mittelpunkten $z_0=\pm i\cot\theta$ und dem Radius $1/\sin\theta$.
Seien $z=x+iy$, dann folgt:
$$
w
\colon=|1-z|^2\frac{1+z}{1-z}
=(1+z)(1-\bar z)
=1+z-\bar z-|z|^2
=1-x^2-y^2+2iy
$$
Andererseits ist $w=|w|e^{\pm i\theta}$, also $\Re(w)=|w|\cos\theta$ und mit $c\colon=\cos\theta$ erhalten wir:
$$
1-x^2-y^2=|1-x^2-y^2+2iy|c,
$$
was folgende Beziehung impliziert:
$$
4y^2=(1-x^2-y^2)^2(1-c^2)/c^2~.
$$
Mit $a\colon=c/\sqrt{1-c^2}=\cot\theta$ folgt daher
$$
\pm2ay=1-x^2-y^2
\quad\mbox{i.e.}\quad
x^2+(y\pm a)^2=1+a^2~.
$$
Schließlich ist $1+a^2=1+\cot^2\theta=1/\sin^2\theta$.