Berechnen Sie die Ableitung der Funktion $F:\R\rar\R$,
$$
F(x)=\int_0^\infty\frac{\sin(tx)}{1+t^2}\,dt~.
$$
Mittels partieller Integration erhalten wir
$$
F(x)=-\frac{\cos(tx)}{x}\frac1{1+t^2}\Big|_0^\infty
-\int_0^\infty\frac{2t\cos(tx)}{x(1+t^2)^2}\,dt
=\frac1x\Big(1-\int_0^\infty\frac{2t\cos(tx)}{(1+t^2)^2}\,dt\Big),
$$
und damit:
$$
\int_0^\infty\frac{2t^2\sin(tx)}{(1+t^2)^2}\,dt
=(xF)^\prime(x)=F(x)+xF^\prime(x)
$$
i.e.
$$
F^\prime(x)=
\frac1x\Big(
\int_0^\infty\frac{2t^2\sin(tx)}{(1+t^2)^2}\,dt-\frac{\sin(tx)}{1+t^2}\,dt\Big)
=\frac1x\int_0^\infty\frac{\sin(tx)(t^2-1)}{(1+t^2)^2}\,dt~.
$$