Seien $\Re w,\Re z > 0$. Die Funktion
$$
\b(z,w)\colon=\int_0^1(1-t)^{z-1}t^{w-1}\,dt
$$
heißt die Betafunktion. Zeigen Sie: $\G(z+w)\b(z,w)=\G(z)\G(w)$.
Wir betrachten die lineare Abbildung $T:\R^2\rar\R^2$, $T(s,t)=(s,s+t)$;
sie besitzt die Determinante $1$ und bildet das Gebiet $(0,\infty)^2$ auf
das Gebiet $\{(x,y):0 < x < y\}$ ab. Nach der Substitutionsregel bzw. Fubini folgt:
\begin{eqnarray*}
\G(z)\G(w)
&=&\iint s^{z-1}t^{w-1}e^{-s-t}\,dt\,ds
=\int_0^\infty\int_0^y x^{z-1}(y-x)^{w-1}e^{-y}\,dx\,dy\\
&=&\int_0^\infty\int_0^1 x^{z-1}(1-x)^{w-1}y^{z+w-1}e^{-y}\,dx\,dy\\
&=&\G(z+w)\int_0^1 x^{z-1}(1-x)^{w-1}\,dx~.
\end{eqnarray*}