Zeigen Sie z.B. mittels Fubini, daß für alle $\Re w > 0$ und $0 < \Re z < 1$:
$$
\frac{z}{\G(1-z)}\int_0^\infty\frac{1-e^{-wt}}{t^{z+1}}\,dt
=\frac1{\G(1-z)}\int_0^\infty t^{-z}we^{-tw}\,dt
=w^z~.
$$
2. Folgern Sie für $a > 0$ und $0< x < 1$:
\begin{eqnarray*}
\int_0^\infty\frac{1-\cos(at)}{t^{x+1}}
&=&\frac{a^x\cos(x\pi/2)\G(1-x)}{x}
\quad\mbox{und}\\
\int_0^\infty\frac{\sin(at)}{t^{x+1}}
&=&\frac{a^x\sin(x\pi/2)\G(1-x)}{x}~.
\end{eqnarray*}
1. Nach Fubini folgt:
$$
\int_0^\infty\frac{1-e^{-wt}}{t^{z+1}}\,dt
=\int_0^\infty\int_0^t we^{-sw}t^{-1-z}\,ds\,dt
=\int_0^\infty\int_s^\infty we^{-sw}t^{-1-z}\,dt\,ds
=\int_0^\infty we^{-sw}s^{-z}z^{-1}\,ds
=w^z\G(1-z)/z~.
$$
2. Die beiden Integral sind der Real- bzw. der Imaginärteil von
$$
\int_0^\infty\frac{1-e^{-iat}}{t^{x+1}}\,dt
=\frac{(ia)^x\G(1-x)}x
=\frac{a^xe^{ix\pi/2}\G(1-x)}x
$$