Sei $0 < p < 2$ und $\mu$ ein symmetrisches Maß auf $\R$ mit
$\int e^{itx}\,\mu(dx)=e^{-|t|^p}$. Dann gilt für alle $0 < a < p$:
\begin{eqnarray*}
\int|x|^a\,\mu(dx)&=&C_a p^{-1}\G(a/p)
\quad\mbox{mit}\\
C_a^{-1}
&=&\int_0^\infty\frac{1-\cos t}{t^{1+a}}\,dt
=\frac{\G(1-a)\cos(\pi a/2)}{a}~.
\end{eqnarray*}
Hinweis: $|x|^a=C_a\int_0^\infty(1-\cos(tx))/t^{1+a}\,dt$.
Da $\mu$ symmetrisch ist, folgt:
$$
\int e^{itx}\,\mu(dx)
=\tfrac12\int e^{itx}+e^{-itx}\,\mu(dx)
=\int\cos(tx)\,\mu(dx),
$$
also
\begin{eqnarray*}
\int|x|^a\,\mu(dx)
&=&C_a\int\int_0^\infty(1-\cos(tx))/t^{1+a}\,dt\,\mu(dx)\\
&=&C_a\int_0^\infty(1-e^{-t^p})/t^{1+a}\,dt\\
&=&C_a p^{-1}\int_0^\infty(1-e^{-t})t^{-1-a/p}\,dt
=C_a p^{-1}\G(a/p)~.
\end{eqnarray*}