Seien $p < 1$, $X$ eine nicht negative $p$-stabile Zufallsvariable mit der
Laplace-Transformierten $e^{-t^p}$ und $X^\prime$ eine unabhängige Kopie von
$X$. Dann ist $(X-X^\prime)$ eine symmetrische $p$-stabile
Zufallsvariable mit $\E e^{itX}=e^{-2|t|^p\cos(p\pi/2)}$.
Die Funktion $z\mapsto\E e^{-zX}$ ist auf $\Re z > 0$ analytisch und stimmt
auf $\R^+$ mit $e^{-z^p}$ überein, also gilt für alle $\Re z > 0$:
$\E e^{-zX}=e^{-z^p}$. Nun ist für $t\in\R$ und $r > 0$:
$$
\E e^{i(t-ir)(X-X^\prime)}
=\E e^{(r+it)X}\E e^{(r-it)X}
=e^{(r+it)^p+(r-it)^p}
$$
und mit $r\dar0$ folgt: $\E e^{it(X-X^\prime)}=e^{-|t|^p(i^p+(-i)^p)}
=e^{-2|t|^p\cos(p\pi/2)}$.