Für alle $\Re z > 1$ ist die Funktion $t\mapsto1/(1+t^z)$ über $\R^+$ integrierbar. 2. Berechnen Sie die Ableitung von
$$
f(z)\colon=\int_0^\infty\frac1{1+t^z}\,dt~.
$$
1. Setze $z=x+iy$, dann folgt:
$$
|1+t^x\cos(y\log t)+it^x\sin(y\log t)|^2
=1+2t^x\cos(y\log t)+t^{2x}
\geq(1-t^x)^2
$$
Falls $t\mapsto1+t^z$ also keine Nullstelle besitzt, dann gibt es eine Konstante $c=c(z) > 0$, so daß $|1+t^z|\geq c(1+t^x)$. Aus $1+t^z=0$ folgt:
$$
\sin(y\log t)=0
\quad\mbox{und}\quad
1+t^x\cos(y\log t)=0
$$
also $\cos(y\log t)=\pm1$ und damit: $1\pm t^x=0$, was nur möglich ist für $t=1$. In diesem Fall ist aber $\cos(y\log t)=1$.
2. Nach Abschnitt ist $f$ stetig; die Ableitung von $z\mapsto(1+t^z)^{-1}$ ist
$$
-\frac{t^z\log t}{(1+t^z)^2}
$$
und deren Betrag ist beschränkt durch die integrierbare Funktion
$$
\frac{t^x|\log t|}{c^2(1+t^x)^2}~.
$$
Wiederum nach Abschnitt folgt:
$$
f^\prime(z)=-\int_0^\infty\frac{t^z\log z}{(1+t^z)^2}\,dt~.
$$