Sei $p\in[1,\infty)$ und $\r$ die Dichte eines Maßes $\mu$ auf $\R^n$. Dann ist $f\mapsto f\r^{1/p}$ eine Isometrie von $L_p(\mu)$ in $L_p(\R^n)$. Falls $[\r=0]$ eine Nullmenge in $L_p(\R^n)$ ist, dann ist $f\mapsto f\r^{1/p}$ eine Isometrie von $L_p(\mu)$ auf $L_p(\R^n)$ mit der inversen $g\mapsto g\r^{-1/p}$.
Die Norm von $f$ in $L_p(\mu)$ ist $(\int|f|^p\r\,d\l)^{1/p}$ und die Norm von $f\r^{1/p}$ in $L_p(\R^n)$ ist $(\int|f|^p\r\,d\l)^{1/p}$. Die Abbildung $f\mapsto f\r^{1/p}$ muß aber nicht surjektiv sein: falls $\l(\r=0) > 0$, dann liegt keine Funktion $f\in L_p(\R^n)$ mit $[f\neq0]\sbe[\r=0]$ im Bild!