Sei $n\in\N$. Zeigen Sie für alle $z\in\C$:
$$
\sum_{k=0}^{n-1}z^k
=\prod_{k=1}^{n-1}(z-e^{2\pi ik/n})
$$
und leiten Sie daraus die Beziehungen:
$$
n=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/n)
\quad\mbox{und}\quad
2n+1=2^{2n}\prod_{k=1}^n\sin^2(k\pi/(2n+1))
\quad\mbox{ab.}
$$
Aus der Summenformel für die geometrische Reihe folgt:
$$
\sum_{k=0}^{n-1}z^k
=\frac{z^n-1}{z-1}
=\prod_{k=1}^{n-1}(z-e^{2\pi ik/n})\\
$$
also erhalten wir für $z=1$:
\begin{eqnarray*}
n^2&=&n\bar n
=\prod_{k=1}^{n-1}(1-e^{2\pi ik/n})(1-e^{-2\pi ik/n})\\
&=&\prod_{k=1}^{n-1}(2-2\cos(2\pi k/n))
=\prod_{k=1}^{n-1}(4\sin^2(\pi k/n))
=4^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin^2(\pi k/n)~.
\end{eqnarray*}
Da für alle $k=1,\ldots,n-1$: $\sin(\pi k/n) > 0$ folgt:
$$
n=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/n)~.
$$
Substituieren wir $n\to2n+1$, so folgt:
\begin{eqnarray*}
2n+1&=&2^{2n}\prod_{k=1}^{2n}\sin(\pi k/(2n+1))\\
&=&2^{2n}\prod_{k=1}^{n}\sin(\pi k/(2n+1))\prod_{k=1}^{n}\sin(\pi(2n+1-k)/(2n+1))\\
&=&2^{2n}\prod_{k=1}^{n}\sin(\pi k/(2n+1))\prod_{k=1}^{n}\sin(\pi-\pi k/(2n+1))\\
&=&2^{2n}\prod_{k=1}^{n}\sin^2(\pi k/(2n+1))
\end{eqnarray*}