Zeigen Sie, daß für alle $\Re z > 1$ gilt:
$$
\z(z)=\frac1{1-2^{1-z}}\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}n^{-z}
$$
Bemerkung: die Summe ist auch für (reelle) $z\in(0,1)$ definiert!
Zeigen Sie, daß für alle $0< x < 1$ gilt: $\z(x) < 0$.
Zunächst gilt: $\sum_{n=1}^\infty(2n)^{-z}=2^{-z}\z(z)$; weiters ist
$$
\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}n^{-z}
=\sum_{n=1}^\infty(2n-1)^{-z}-\sum_{n=1}^\infty(2n)^{-z}
=\z(z)-2\sum_{n=1}^\infty(2n)^{-z}~.
$$
2. Da $n^{-x}$ mit $n$ monoton fällt, folgt: $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}n^{-x} > 0$.