Die Abbildung $F:z\mapsto e^{i\pi z}$ bildet $S=[0<\Re z < 1]$ bianalytisch auf
$[\Im z > 0]$ ab.
Sei $z=x+iy\in S$, dann ist $\Im F(z)=e^{-\pi y}\sin(\pi x) > 0$. Da $F^{-1}(w)=\log w/i\pi$, folgt aus $w=u+iv$ und $v > 0$: $\log(w)=\log|w|+i\theta$ mit $\theta\in(0,\pi)$ und damit: $\Re F^{-1}(w)=\theta/\pi\in(0,1)$.