Sei $f:\C\rar\C$ stetig reell differenzierbar, so daß für alle $t\in\R$ und alle $z\in\C$: $f(e^{it}z)=f(z)$, dann gilt:
$$
f(z)-f(0)=2\int_0^1\pa_{\bar z}f(tz)\bar z\,dt~.
$$
Ist $f$ (komplex) differenzierbar, so ist $f$ konstant.
Da $df=\pa_{z}f\,dz+\pa_{\bar z}f\,d\bar z$ und $t\mapsto f(e^{it}z)$
konstant ist, folgt:
$$
0=df(e^{it}z)(ie^{it}z)
=\pa_zf(e^{it}z)ie^{it}z-\pa_{\bar z}f(e^{it}z)ie^{-it}\bar z
$$
also für $t=0$: $\pa_{z}f(z)z=\pa_{\bar z}f(z)\bar z$. Damit ist
\begin{eqnarray*}
f(z)-f(0)
&=&\int_0^1 df(tz)z\,dt\\
&=&\int_0^1\pa_{z}f(tz)z+\pa_{\bar z}f(tz)\bar z\,dt
=2\int_0^1\pa_{\bar z}f(tz)\bar z\,dt~.
\end{eqnarray*}