Sei $\vp:\R^+\rar L_p(\R^n)$ zweimal stetig differenzierbar, so daß z.B. $\vp$, $\vp^\prime$ und $\vp^\dprime$ beschränkt sind. Falls $\vp$ eine Lösung der Wellengleichung: $\vp^\dprime(t)+\D\vp(t)=0$ mit $\vp^\prime(0)=0$ ist, dann ist $$ u(t)\colon=(4\pi t)^{-1/2}\int_0^\infty e^{-s^2/4t}\vp(s)\,ds $$ eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung $u^\prime(t)+\D u(t)=0$.
Der entscheidende Punkt ist, daß die Funktion $p(t,s)\colon=(4\pi t)^{-1/2}e^{-s^2/4t}$ die Gleichung $\pa_tp=\pa_s^2p$ erfüllt; mittels zweifacher partieller Integration folgt dann \begin{eqnarray*} u^\prime(t) &=&\int_0^\infty \pa_tp(t,s)\vp(s)\,ds =\int_0^\infty \pa_s^2p(t,s)\vp(s)\,ds\\ &=&\pa_sp(t,s)\vp(s)\Big|_{s=0}^{s=\infty}-\int_0^\infty \pa_sp(t,s)\vp^\prime(s)\,ds\\ &=&-p(t,s)\vp^\prime(s)\Big|_{s=0}^{s=\infty}+\int_0^\infty p(t,s)\vp^\dprime(s)\,ds\\ &=&\int_0^\infty p(t,s)\vp^\dprime(s)\,ds =-\int_0^\infty p(t,s)\D\vp(s)\,ds =-\D u(t)~. \end{eqnarray*}