Sei $f:\O(\sbe\C)\rar\C$ reell differenzierbar und $f(x+iy)=u(x,y)+i\wt u(x,y)$. Zeigen Sie:
$$
|\pa_z f(z)|^2+|\pa_{\bar z}f(z)|^2
=\tfrac12(\norm{\nabla u}^2+\norm{\nabla\wt u}^2)~.
$$
und für $F(x,y)\colon=(u(x,y),\wt u(x,y))$: $\det DF(x,y)=|\pa_z f(z)|^2-|\pa_{\bar z}f(z)|^2$.
Nach Definition gilt:
$$
2\pa_z f=\pa_xu+\pa_y\wt u+i(\pa_x\wt u-\pa_yu)
\qquad
2\pa_{\bar z}f=\pa_xu-\pa_y\wt u+i(\pa_x\wt u+\pa_yu)
$$
Damit folgt erstens:
\begin{eqnarray*}
4|\pa_z f|^2+4|\pa_{\bar z}f|^2
&=&(\pa_xu+\pa_y\wt u)^2+(\pa_xu-\pa_y\wt u)^2
+(\pa_x\wt u-\pa_yu)^2+(\pa_x\wt u+\pa_yu)^2\\
&=&2\norm{\nabla u}^2+2\norm{\nabla\wt u}^2
\end{eqnarray*}
und zweitens:
\begin{eqnarray*}
4|\pa_z f|^2-4|\pa_{\bar z}f|^2
&=&(\pa_xu+\pa_y\wt u)^2+(\pa_x\wt u-\pa_yu)^2
-(\pa_xu-\pa_y\wt u)^2-(\pa_x\wt u+\pa_yu)^2\\
&=&4\pa_xu\pa_y\wt u-4\pa_x\wt u\pa_yu
=4\det DF~.
\end{eqnarray*}