Sei für $\l,r > 0,\nu\in\C$: $$ K(\l,\nu,r)\colon=\int_0^\infty t^{-\nu-1}e^{-\l^2 t-r^2/4t}\,dt $$ Zeigen Sie: die Besselschen Potentialoperatoren der Wärmeleitungshalbgruppe sind gegeben durch $$ U_\l^zf(x)=\frac1{(4\pi)^{n/2}\G(z)}\int_{\R^n}K(\l,n/2-z,\norm{y-x})f(y)\,dy $$ Ferner gilt:
  1. $K(\l,\nu,r)=\l^{2\nu}K(1,\nu,\l r)$.
  2. $\pa_\l K(\l,\nu,r)=-2\l K(\l,\nu-1,r)$.
  3. $\pa_rK(\l,\nu,r)=-\frac12rK(\l,\nu+1,r)$.
  4. $r\pa_r^2K+(2\nu+1)\pa_rK-\l^2 rK=0$.
  5. $K(\l,1/2,r)=(4\pi)^{1/2}e^{-\l r}/r$ und $K(\l,-1/2,r)=(4\pi)^{1/2}e^{-\l r}/\l$.
1. Sei $f\in C_c^\infty(\R^n)$, dann folgt nach Fubini: \begin{eqnarray*} U_\l^zf(x) &=&\frac1{\G(z)}\int_0^\infty t^{z-1}e^{-\l^2t} \int_{\R^n}(4\pi t)^{-n/2}e^{-\norm{x-y}^2/4t}f(y)\,dy\\ &=&\frac1{(4\pi)^{n/2}\G(z)}\int_{\R^n}\int_0^\infty t^{z-n/2-1}e^{-\l^2t-\norm{x-y}^2/4t}\,dt f(y)\,dy\\ &=&\frac1{(4\pi)^{n/2}\G(z)}\int_{\R^n}K(\l,n/2-z,\norm{y-x})f(y)\,dy~. \end{eqnarray*} 5. Differenzieren wir die Beziehung 2. nach $\l$, so folgt wegen 3.: $$ -2\l K(\l,\nu-1,r) =\pa_\l K(\l,\nu,r) =2\nu\l^{2\nu-1}K(1,\nu,\l r) +\l^{2\nu}r\pa_3K(1,\nu,\l r)~. $$ Differenzieren wir die Beziehung 2. nach $r$, so folgt: $$ \pa_rK(\l,\nu,r)=\l^{2\nu+1}\pa_3K(1,\nu,\l r)~. $$ Wir erhalten somit: $$ -2\l K(\l,\nu-1,r) =2\nu\l^{-1}K(\l,\nu,r)+\l^{-1}r\pa_rK(\l,\nu,r)~. $$ Abermalige Differentiation nach $r$ ergibt wegen 4.: $$ \l rK =-2\l\pa_rK(\l,\nu-1,r) =2\nu\l^{-1}\pa_rK +\l^{-1}\pa_rK +\l^{-1}r\pa_r^2K~. $$ 6. Die Funktion $y(r)\colon=\sqrt{\pi}e^{-\l r}\l^{-1}$ erfüllt die Differentialgleichung $y^\dprime-\l^2y=0$ und es gilt: $y(0)=\sqrt{\pi}\l^{-1}=\int t^{-1/2}e^{-\l^2t}\,dt=K(\l,-1/2,0)$ sowie $y(\infty)=0$.