Z.B. gilt für $f(x)=(1+x^2)^{-1}/\pi$ und $g(x)=e^{-x^2/4t}/\sqrt{4t\pi}$: $\wh f(y)=e^{-|y|}/\sqrt{2\pi}$ und $\wh g(y)=e^{-ty^2}/\sqrt{2\pi}$, also:
$$
\int_\R\frac{e^{-y^2/4t}}{1+y^2}\,dy
=\sqrt{t\pi}\int_\R e^{-|y|-ty^2}\,dy~.
$$
2. Zeigen Sie: die Laplace-Transformierte $\vp$ der Funktion $e^{-x^2/2}$, $x > 0$ ist
$$
\vp(x)
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R\frac{e^{-x^2y^2/2}}{1+y^2}\,dy~.
$$
2. Sei $x > 0$. Nach Definition ist mit $t=1/2x^2$
$$
\vp(x)
=\int_0^\infty e^{-xy-y^2/2}\,dy
=\frac1x\int_0^\infty e^{-y-y^2/2x^2}\,dy
=\frac1{2x}\int_\R e^{-|y|-y^2/2x^2}\,dy
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R\frac{e^{-x^2y^2/2}}{1+y^2}\,dy
$$