Die Abbildung $z\mapsto P_z$ ist eine stetige Abbildung von $\Re z > 0$ in $L(H^s(\R^n))$.
Seien $\Re z,\Re w > \d$, dann folgt nach dem Mittelwertsatz (oder der Taylor-Formel):
$$
|e^{-w\norm y^2}-e^{-z\norm y^2}|\leq|z-w|\norm y^2|e^{-\d\norm y^2}|
$$
und da $\sup_y\norm y^2|e^{-\d\norm y^2}|=\d/e$:
$$
\sup_{y\in\R^n}|e^{-w\norm y^2}-e^{-z\norm y^2}|
\leq|z-w|/\d e~
$$
Daher folgt für alle $f\in H^s(\R^n)$:
$$
\norm{P_wf-P_zf}_{H^s}^2
\leq(1/\d e)^2\int |z-w|^2|\wh f(y)|^2h_0(y)^{2s}\,dy
=(1/\d e)^2|z-w|^2\norm{f}_{H^s}^2,
$$
i.e. $\norm{P_w-P_z}\leq(1/\d e)|z-w|$.