Berechnen Sie für $n,m\in\N_0$:
$$
I\colon=\int_0^{2\pi}\sin^m(x)\cos^n(x)\,dx~.
$$
Sei $f(z)=2^{-m-n}i^{-m}(z-1/z)^m(z+1/z)^n/z$ und $c(t)=e^{it}$, $t\in(0,2\pi)$. Dann
ist $f(z)=2^{-m-n}i^{-m}\sum_{k=-m-n-1}^{m+n-1}a_kz^k$ und $2^{-m-n+1}i^{-m}\pi ia_{-1}=\int_c f(z)\,dz=iI$.