Sei $a\in\C\sm\{0\}$ mit $0\leq\Im a\leq\Re a$, also $a=re^{i\theta}$ mit
$0\leq\theta\leq\pi/4$. Ferner seien
$c_1(t)=ne^{it}$, $t\in(0,\theta)$, $c_2(t)=at$, $t\in(0,n)$ und $c_3(t)=t$,
$t\in(0,n)$ Zeigen Sie mithilfe des Cauchyschen Integralsatzes:
$$
\lim_{n\to\infty}\int_{-n}^ne^{-(at)^2}\,dt=\frac1a\int_\R e^{-t^2}\,dt~.
$$
2. Folgern Sie:
$$
\lim_{n\to\infty}\int_{-n}^n \sin(t^2)\,dt
=\lim_{n\to\infty}\int_{-n}^n \cos(t^2)\,dt
=\sqrt2\int_\R e^{-t^2}\,dt~.
$$
Sei $a=re^{i\theta}$, dann folgt:
\begin{eqnarray*}
\Big|\int_{c_1}\exp(-z^2)\,dz\Big|
&\leq&\tfrac12n\int_0^{\pi/2}\exp(-n^2\cos t)\,dt\\
&\leq&\tfrac12n\int_0^{\pi/2}\exp(-n^2(1-2t/\pi))\,dt\\
&=&(n/2)e^{-n^2}(\pi/2n^2)(e^{n^2}-1)
\leq\frac{\pi}{4n}.
\end{eqnarray*}
Nach dem Cauchyschen Integralsatz:
$$
\int_{c_3} e^{-t^2}\,dt
+\int_{c_1} e^{-z^2}\,dz
+\int_{c_2^{-1}}\exp(-z^2)\,dz
=0
$$
und damit: $\lim_{n\to\infty}\int_{0}^n e^{-t^2}\,dt-a\int_{0}^n e^{-(at)^2}\,dt=0$.
2. Für $a=(1+i)/\sqrt2$ folgt aus 1.:
$$
\lim_{n\to\infty}\int_{-n}^n e^{-it^2}\,dt
=\frac{1-i}{\sqrt2}\int_\R e^{-t^2}\,dt~.
$$