Eine stetige Funktion $f:\O\rar\R$ auf einem Gebiet $\O\sbe\C^n$ heißt plurisubharmonisch,wenn für alle $z\in\O$ und alle $w\in\C^n$ die Funktion $\z\mapsto f(w+\z z)$ auf $\C$ subharmonisch ist. Zeigen Sie: eine zweimal stetig differenzierbare Funktion $f:\O\rar\R$ ist genau dann plurisubharmonisch, wenn für alle $z\in\O$ und alle $w\in\C^n$: $$ -\sum_{j,k=1}^n\pa_{z_j}\pa_{\bar z_k}f(z)u_j\bar u_k\leq0~. $$ Nur im Fall $n=1$ bedeuten plurisubharmonisch und subharmonisch dasselbe; in allen anderen Dimensionen ist der Begriff plurisubharmonisch stärker als der Begriff subharmonisch, d.h. zwar ist jede plurisubharmonisch Funktion subharmonisch aber nicht jede subharmonisch Funktion muß plurisubharmonisch sein.
Sei zu $z\in\O$ und $w\in\C^n$: $F(\z)=z+\z w$ und $u(\z)\colon=f(F(\z))$. $f$ ist genau dann plurisubharmonisch, wenn für alle $z,w\in\O$: $\pa_{\z}\pa_{\bar\z}u\geq0$. Nach der Kettenregel ist aber wegen $\pa_{\bar\z}F=0$ und $\pa_{\z}F_j=w_j$: $$ \pa_{\bar\z}u(\z) =\sum_k\pa_{\bar z_k}f(F(\z))\bar w_k $$ und damit: $$ \pa_{\z}\pa_{\bar\z}u(\z) =\sum_{j,k}\pa_{z_j}\pa_{\bar z_k}f(F(\z))w_j\bar w_k $$