Für einen Banachraum $X$ sind folgende Aussagen äquivalent:
  1. $X$ ist strikt konvex, i.e. für alle $x,y\in S_X$ mit $y\neq x$ gilt: $\norm{x+y} < 2$.
  2. Für alle $x\in S_X$, alle $y\in\cl{B_X}$ mit $y\neq x$ gilt: $\norm{x+y} < 2$.
  3. Für alle $x\neq y\in S_X$ und alle $t\in(0,1)$ gilt: $\norm{(1-t)x+ty} < 1$ - die Einheitssphäre $S_X$ enthält keine nicht trivialen Strecken.
  4. Sind $x,y\in X$, so daß $\norm{x+y}=\Vert x\Vert+\norm y$, dann gibt es ein $\l\geq0$, so daß $y=\l x$ oder $x=\l y$.
1.$\Rar$2.: Falls $y < 1$, dann gilt stets $\norm{x+y} < 2$.
2.$\Rar$3.: Angenommen $z\colon=(1-t)x+ty$ liegt in $S_X$; sei o.B.d.A $t < 1/2$, dann ist $w\colon=2z-x=(1-2t)x+2ty\in\cl{B_X}$ und von $x$ verschieden, also: $\norm{2z}=\norm{x+w} < 2$.
3.$\Rar$4.: Angenommen $x\notin\R_0^+y$ und $y\notin\R_0^+x$, dann folgt $x,y\neq0$ und $a\colon=\norm x > 0$ und $b\colon=\norm y > 0$, also: $x/a\neq y/b\in S_X$; nach 3. gilt daher: $$ \norm{x+y}/(a+b)=\norm{a/(a+b)(x/a)+b/(a+b)(y/b)} < 1~. $$