Sei $a > 0$. Zeigen Sie, daß die Abbildung $F:z\mapsto z/(2a-z)$ die Halbebene $[\Re z < a]$ bianalytisch auf den Einheitskreis $D$ abbildet.
$|F(z)|\leq1$ ist gleichbedeutend mit $|z|^2\leq|2a-z|^2$, d.h. der Abstand von $z$ zu $0$ ist kleiner oder gleich dem Abstand von $z$ zu $2a$.
Sei $|w| < 1$, dann gilt $F(z)=w$ genau dann, wenn $z=2aw/(1+w)$; da
$$
\Re z
=\frac a2\Big(\frac{w}{1+w}+\frac{\bar w}{1+\bar w}\Big)
=a\frac{2\Re w+|w|^2}{|1+w|^2}
=a\frac{2\Re w+|w|^2}{1+2\Re w+|w|^2} < a,
$$
folgt: $z\in[\Re z < a]$.