M. Fekete: Sei $f:\N\rar\R$ subadditiv, i.e. $f(n+m)\leq f(n)+f(m)$. Dann gilt
$$
-\infty\leq\inf_n\frac{f(n)}n
=\lim_n\frac{f(n)}n
<\infty~.
$$
Sei $g(n)\colon=f(n)/n$, dann folgt aus der Subadditivität von $f$:
$f(km)\leq kf(m)$, also insbesondere $g(km)\leq g(m)\leq g(1)=f(1)$.
Es genügt daher zu zeigen, daß für alle $m\in\N$:
$\limsup_n g(n)\leq g(m)$. Sei $n=km+l$ mit $0\leq l < m$ und $k\in\N_0$, dann
folgt aus der Subadditivität von $f$:
\begin{eqnarray*}
g(km+l)
&\leq&\tfrac{km}{km+l}g(km)+\tfrac{l}{km+l}g(l)\\
&\leq&\tfrac{km}{km+l}g(m)+\tfrac{l}{km+l}g(l)
\leq g(m)+f(1)l/k~.
\end{eqnarray*}