Folgern Sie aus der Resolventengleichung, daß für alle $z\notin\Spec(A)$: $\norm{(z-A)^{-1}}\geq1/d(z)$, wobei $d(z)\colon=d(z,\Spec(A))$. Hinweis: wählen Sie zu $z$ eine Folge $z_n\notin\Spec(A)$, so daß $|z-z_n|\to d(z)$; benutzen Sie dann die Resolventengleichung und beachten Sie, daß $\norm{U_{z_n}}$ gegen $+\infty$ konvergiert.
Seien $z,z_n\notin\Spec(A)$ und $a\colon=\norm{U_z}$, $a_n=\norm{U_{z_n}}$.
Nach der Resolventengleichung folgt:
$$
a_n-a\leq\norm{U_z-U_{z_n}}\leq|z-z_n|aa_n
\quad\mbox{i.e.}\quad
a\geq\frac{a_n}{1+|z-z_n|a_n}
$$
mit $|z-z_n|\to d(z)$ konvergiert aber $a_n$ gegen $+\infty$, also folgt:
$a\geq1/d(z)$.