Sei $A:\C^n\rar\C^n$ der lineare Operator $Ae_1\mapsto e_1$ und für $k > 1$:
$Ae_k=e_{k-1}+e_k$. Berechnen Sie die Resolvente von $A$ sowie für $w\in\C$
den Operator $A^w$. Hinweis: Drücken Sie die Resolvente mithilfe des
Operators $B\colon=A-1$ aus.
Das charakteristische Polynom von $A$ ist $p(z)=\det(z-A)=(z-1)^n$, also ist
$\Spec(A)=\{1\}$ und $B^n=0$. Es folgt:
$$
U_z=(z-A)^{-1}=(z-1-B)^{-1}=\frac1{z-1}\Big(1-\frac B{z-1}\Big)^{-1}
=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{B^k}{(z-1)^{k+1}}
$$
Sei $\g(t)=1+\tfrac12e^{it}$, $t\in(0,2\pi)$, so erhalten wir z.B.
nach dem Spektralkalkül sowie dem Satz von Cauchy-Goursat:
$$
A^w=\sum_{k=0}^{n-1}
\Big(\frac{k!}{2\pi i}\int_\g\frac{z^w}{(z-1)^{k+1}}\,dz\Big)\frac{B^k}{k!}\\
=\sum_{k=0}^{n-1}
\Big(\frac{d^k}{dz^k}\Big|_{z=1} z^w\Big)
\frac{B^k}{k!}
=\sum_{k=0}^{n-1}{w\choose k}B^k~.
$$
Bemerkung: Zu demselben Ergebnis kommt man, wenn man die Funktion
$B\mapsto(1+B)^w$ in ihre Taylor-Reihe entwickelt!