Sei $X$ ein Banachraum, $C,a\in\R^+$ und $A\in L(X)$ ein Isomorphismus, so daß für alle $t > 0$: $\norm{e^{-tA}}\leq Ce^{-at}$. Definiere für $\Re z < 1$:
$$
A^zx\colon=\frac1{\G(1-z)}\int_0^\infty t^{-z}Ae^{-tA}x\,dt~.
$$
Zeigen Sie für $\Re z < 1$, $\Re w < 1$ und $\Re(z+w) < 1$: $A^w A^w=A^{z+w}$.
Wir zeigen zunächst, daß $AA^{z-1}=A^z$, i.e.
$$
AA^{z-1}x
=\frac1{\G(2-z)}\int_0^\infty t^{-z+1}A^2e^{-tA}x\,dt
=\frac1{\G(1-z)}\int_0^\infty t^{-z}Ae^{-tA}x\,dt~.
$$
Dies folgt mittels partieller Integration. Nach Fubini erhalten wir:
$$
\int_0^\infty\int_0^\infty t^{-z}s^{-w}Ae^{-tA}Ae^{-sA}x\,dt\,ds
=\int_0^\infty\int_0^u(t^{-z}(u-t)^{-w})A^2e^{-uA}x\,dt\,du
$$
Nun ist das innere Integral gleich
$$
\int_0^u t^{-z}(u-t)^{-w}\,dt
=u^{1-z-w}\int_0^1 t^{-z}(1-t)^{-w}\,dt
=u^{1-z-w}\b(1-z,1-w)
$$
also:
$$
\b(1-z,1-w)A\int_0^\infty u^{1-z-w}Ae^{-uA}x\,dt\,du
=\b(1-z,1-w)\G(2-z+w)AA^{z+w-1}x
=\G(1-z)\G(1-w)A^{z+w}~.
$$