Sei $X$ ein Banachraum, $C,a\in\R^+$ und $A\in L(X)$ ein Isomorphismus, so daß für alle $t > 0$: $\norm{e^{-tA}}\leq Ce^{-at}$. Definiere für $\Re z > 0$:
$$
A^{-z}x\colon=\frac1{\G(z)}\int_0^\infty t^{z-1}e^{-tA}x\,dt~.
$$
Zeigen Sie mithilfe von Fubini: für $\Re z,\Re w > 0$ gilt: $A^{-z} A^{-w}=A^{-z-w}$.
Nach Fubini erhalten wir:
$$
\int_0^\infty\int_0^\infty t^{z-1}s^{w-1}e^{-tA}e^{-sA}x\,dt\,ds
=\int_0^\infty\int_0^u(t^{z-1}(u-t)^{w-1})e^{-uA}x\,dt\,du
$$
Nun ist das innere Integral gleich
$$
\int_0^u t^{z-1}(u-t)^{w-1}\,dt
=u^{z+w-1}\int_0^1 t^{z-1}(1-t)^{w-1}\,dt
=u^{z+w-1}\b(z,w)
$$
also:
$$
\b(z,w)\int_0^\infty u^{z+w-1}e^{-uA}x\,dt\,du
=\b(z,w)\G(z+w)A^{-z-w}x
=\G(z)\G(w)A^{-z-w}~.
$$