Sei $f=(f_1,\ldots,f_n):\O(\sbe\C^n)\rar\C^n$ reell differenzierbar und $F(x,y)\colon=(\Re f(x+iy),\Im f(x+iy))$. Zeigen Sie (Lösungsvorschlag): $$ \det DF(x,y) =\det\left(\begin{array}{cc} \pa_{z_k}f_j&\pa_{\bar z_k}f_j\\ \pa_{z_k}\bar f_j&\pa_{\bar z_k}\bar f_j \end{array}\right)~. $$
Seien $u_j\colon=\Re f_j$ und $\wt u_j\colon=\Im f_j$ und $A,B,C,D\in\Ma(n,\R)$ die Matrizen $A=(\pa_{x_k}u_j)$, $B=(\pa_{y_k}u_j)$, $C=(\pa_{x_k}\wt u_j)$ und $D=(\pa_{y_k}\wt u_j)$, dann ist $$ DF(x,y) =\left(\begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array}\right) $$ und $\frac12(A-iB)=(\pa_{z_k}u_j)$, $\frac12(C-iD)=(\pa_{z_k}\wt u_j)$ sowie: $\frac12(A-iB)+i\frac12(C-iD)=(\pa_{z_k}f_j)=\colon Z_{11}$ und $\frac12(A-iB)-i\frac12(C-iD)=(\pa_{z_k}\bar f_j)=\colon Z_{21}$. Analog ist $\frac12(A+iB)=(\pa_{\bar z_k}u_j)$, $\frac12(C+iD)=(\pa_{\bar z_k}\wt u_j)$ sowie $\frac12(A+iB)+i\frac12(C+iD)=(\pa_{\bar z_k}f_j)=\colon Z_{12}$ und $\frac12(A+iB)-i\frac12(C+iD)=(\pa_{\bar z_k}\bar f_j)=\colon Z_{22}$. Damit erhalten wir $$ 2\left(\begin{array}{cc} Z_{11}&Z_{12}\\ Z_{21}&Z_{22} \end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc} A-iB+iC+D&A+iB+iC-D\\ A-iB-iC-D&A+iB-iC+D \end{array}\right) $$ und dies ist dasselbe wie $$ \left(\begin{array}{cc} 1&i\\ 1&-i \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} 1&1\\ -i&i \end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc} 1&i\\ 1&-i \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} A-iB&A+iB\\ C-iD&C+iD \end{array}\right) $$ Nun ist aber $$ \det\left(\begin{array}{cc} 1&i\\ 1&-i \end{array}\right) =\det\left(\begin{array}{cc} 1&i\\ 0&-2i \end{array}\right) =(-2i)^n \quad\mbox{und}\quad \det\left(\begin{array}{cc} 1&1\\ -i&i \end{array}\right)=(2i)^n~. $$