Seien $f\in L_1(\TT)$ und $A_f:L_2(\TT)\rar L_2(\TT)$ der
Faltungsoperator
$$
A_f\psi(x)\colon=f*\psi(x)\colon=\int_{-\pi}^\pi f(x-y)\psi(y)\,dy
=\psi*f(x)~.
$$
Zeigen Sie: 1. $A_f^*\psi=\check f*\psi$ mit $\check f(x)\colon=\cl{f(-x)}$ und
$A_f$ ist ein normaler Operator, i.e. $[A_f,A_f^*]=0$.
2. $\psi_n(x)=e^{inx}/\sqrt{2\pi}$ sind Eigenfunktionen von $A_f$ zu den
Eigenwerten $2\pi\wh f(n)$.
3. Bestimmen Sie $\Spec(A_f)$.
4. Unter welcher Bedingung an $f$ ist $A_f$ selbstadjungiert?
3. Da $\wh f(n)$ eine Nullfolge in $\C$ ist und $\psi_n$ eine ONB von $L_2(\TT)$, folgt: $A_f$ ist kompakt und $\Spec(A_f)=\{0\}\cup\{2\pi\wh f(n):n\in\Z\}$.
4. $A_f$ ist genau dann selbstadjungiert, wenn $f(x)=\check f(x)\colon=\cl{f(-x)}$.