Bestätigen Sie, daß der Impulsoperator $P\psi\colon=-i\psi^\prime$, $\dom(P)=C^\infty(\TT)$ auf $L_2(\TT)$ die Eigenwerte $n$, $n\in\Z$, besitzt mit den normierten Eigenfunktionen $\psi_n(x)=e^{inx}/\sqrt{2\pi}$. $P$ ist nicht abgeschlossen. Es gibt einen abgeschlossenen linearen Operator $\cl P$ mit kompakter Resolvente, so daß für alle $n\in\Z$: $\cl P\psi_n=P\psi_n$ und $\Spec(\cl P)=\Z$.
Da $\psi_n$ eine ONB von $L_2(\TT)$ ist, ist für alle $z\notin\Z$ durch $V_z\psi_n\colon=(z-n)^{-1}\psi_n$ ein kompakter, injektiver, linearer Operator $V_z$ mit dichtem Bild definiert. Setzen wir $\cl P\colon=z-V_z^{-1}$, so ist erstens $\cl P$ abgeschlossen - weil der Graph von $V_z^{-1}$ abgeschlossen ist, zweitens $\cl P\psi_n=P\psi_n$ und drittens stimmt die Resolvente von $\cl P$ mit $V_z$ überein.