Für alle $t\in\R$ gelte ${\cal L}(e^{it}z,x,e^{it}w)={\cal L}(z,x,w)$ - man nennt dies eine $\UU(1)$-Symmetrie von ${\cal L}$. Dann verschwindet die Divergenz des Vektorfeldes $J$ mit den Komponenten
$$
\Im\Big(\psi\pa_{w_j}{\cal L}(\psi,.,\pa_1\psi,\ldots,\pa_n\psi)\Big)~.
$$
In der Quantenmechanik nennt man $J$ den Wahrscheinlichkeitsstrom und die Gleichung $\divergence J=0$ bedeutet, daß die Ladung erhalten bleibt: die Ladungserhaltung verdankt sich einer $\UU(1)$-Symmetrie der Lagrangedichte.
Leiten wir $t\mapsto{\cal L}(e^{it}\psi,.,e^{it}\pa_1\psi,\ldots,e^{it}\pa_n\psi)$ an der Stelle $t=0$ nach $t$ ab, so folgt nach der Kettenregel für Wirtinger Ableitungen sowie der Euler-Lagrangen Feldgleichung mit $()\colon=(\psi,.,\pa_1\psi,\ldots,\pa_n\psi)$:
\begin{eqnarray*}
0&=&
i\pa_u{\cal L}()\psi-i\pa_{\bar z}{\cal L}()\bar\psi
+\sum_ji\pa_{w_j}{\cal L}()\pa_{x_j}\psi
-i\pa_{\bar w_j}{\cal L}()\pa_{x_j}\bar\psi\\
&=&i\sum_j\pa_{x_j}\Big(\pa_{w_j}{\cal L}()\Big)\psi
+\pa_{w_j}{\cal L}()\pa_{x_j}\psi
-i\sum_j\pa_{x_j}\Big(\pa_{\bar w_j}{\cal L}()\Big)\bar\psi
+\pa_{\bar w_j}{\cal L}()\pa_{x_j}\bar\psi\\
&=&i\sum_j\pa_{x_j}\Big(\psi\pa_{w_j}{\cal L}()
-\bar\psi\pa_{\bar w_j}{\cal L}()\Big)
=2i\sum_j\pa_{x_j}\Im\Big(\psi\pa_{w_j}{\cal L}()\Big),
\end{eqnarray*}