Sei $D$ ein dichter Teilraum eines Hilbertraumes $E$ und $A_0:D\rar E$ ein linearer Operator, so daß für alle $x,y\in D$: $\la A_0x,y\ra=\la x,A_0y\ra$ (i.e. $A_0$ ist symmetrisch). Sei $G$ der Abschluß des Graphs
$$
\G(A)=\{(x,A_0x):x\in D\}
$$
in $E\times E$ und $\dom(A)$ das Bild von $G$ unter der Projektion $\Pr_1:E\times E\rar E$, $(x,y)\mapsto x$. Dann ist durch $A:\dom(A)\rar E$, $x\mapsto\Pr_2(\Pr_1^{-1}(x)\cap G)$ ein abgeschlossener, symmetrischer linearer Operator definiert, der auf $D$ mit $A_0$ übereinstimmt.
$A$ ist wohldefiniert, d.h. für alle $x\in\dom(A)$ liegt höchstens ein Punkt in $\Pr_1^{-1}(x)\cap G$. Angenommen $y_1$ und $y_2$ liegen in dieser Menge, also $(x,y_1),(x,y_2)\in G$ und damit: $(0,y_2-y_1)\in G$. Es gibt also eine Folge $(x_n,A_0x_n)\in\G(A_0)$, so daß $x_n\to0$ und $Ax_n\to y\colon=y_1-y_2$. Nun ist aber für alle $z\in D$:
$$
\la z,y\ra
=\lim_n\la z,A_0x_n\ra
=\lim_n\la A_0z,x_n\ra
=0~.
$$
Da $D$ dicht ist, folgt: $y=0$.
2. $A$ ist symmetrisch: Die Abbildung $F:(E\times E)\times(E\times E)\rar\C$, $(x,a,y,b)\mapsto\la y,a\ra-\la b,x\ra$ ist stetig und verschwindet auf $\G(A_0)\times\G(A_0)$, also verschwindet sie auch auf $\cl{\G(A_0)\times\G(A_0)}=\cl{\G(A_0)}\times\cl{\G(A_0)}$.