Eine stetige Abbildung $f$ eines Gebietes $\O$ in $\C$ in den komplexen Banachraum $C_0(\R^n)$ ist genau dann analytisch, wenn für alle $x\in\R^n$ die Abbildung $z\mapsto f(z)(x)$ analytisch ist.
  1. Fractional Integration: Sei $f\in C_c^\infty(\R^+)$, $\Re z>0$ und (cf. Beispiel) $$ I(z)f(x)=\int_0^x\frac{(x-t)^{z-1}}{\G(z)}f(t)\,dt~. $$ Dann besitzt $z\mapsto I(z)f$ ein analytische Fortsetzung $I:\C\rar C_0(\R^+)$. Hinweis: Mittels partieller Integration folgt: $I(z)f=I(z+1)f^\prime$.
  2. Für alle $z,w\in\C$ gilt: $I(z)I(w)f=I(z+w)f$. Hinweis: benutzen Sie die Beziehung: $\b(z,w)=\G(z)\G(w)/\G(z+w)$ sowie den Identitätssatz.
  3. $I(0)f=f$ und für alle $n\in\N$: $I(-n)f=f^{(n)}$.
  4. Sei ${\cal L}f$ die Laplace-Transformierte von $f$, i.e. ${\cal L}f(x)=\int_0^\infty f(y)e^{-xy}\,dy$. Zeigen Sie: ${\cal L}(I(z)f)(x)=x^{-z}{\cal L}f(x)$.
1. Die stetigen linearen Funktionale $\d_x:C_0(\R^n)\rar\C$, $f\mapsto f(x)$, bilden eine punktetrennende Familie; $f$ ist daher genau dann analytisch, wenn für alle $x\in\R^n$ die Abbildungen $z\mapsto \d_x(f(z))$ analytisch sind.
2. $z\mapsto I(z)f(x)$ ist auf $[\Re z>0]$ analytisch. Für $n\in\N$ setzen wir auf $[\Re z > -n]$: $I(z)f\colon=I(z+n)f^{(n)}$; damit erhalten wir eine analytische Fortsetzung von $z\mapsto I(z)f$ auf $[\Re z > -n]$.
3. Seien $\Re z,\Re w > 0$, dann folgt nach Fubini sowie der Integraldarstellung der Betafunktion: \begin{eqnarray*} I(z)I(w)f(t) &=&\frac1{\G(z)}\int_0^t(t-s)^{z-1}I(w)f(s)\,ds\\ &=&\frac1{\G(z)\G(w)}\int_0^t\int_0^s (t-s)^{z-1}(s-r)^{w-1}f(r)\,dr\,ds\\ &=&\frac1{\G(z)\G(w)}\int_0^t\int_r^t (t-s)^{z-1}(s-r)^{w-1}f(r)\,ds\,dr\\ &=&\frac1{\G(z)\G(w)}\int_0^t\int_0^1 (t-r)^{z+w-1}(1-u)^{z-1}u^{w-1}f(r)\,du\,dr\\ &=&\frac1{\G(z+w)}\int_0^t (t-r)^{z+w-1}f(r)\,dr =I(z+w)f(t)~. \end{eqnarray*} i.e. $I(z)I(w)f=I(z+w)f$; aufgrund des Identitätssatzes gilt daher für alle $w,z\in\C$: $I(z)I(w)f=I(z+w)f$.
4. Nach Definition, Fubini: \begin{eqnarray*} \G(z){\cal L}I(z)f(x) &=&\int_0^\infty\G(z)I(z)f(y)e^{-xy}\,dy =\int_0^\infty\int_0^x(y-t)^{z-1}f(t)e^{-xy}\,dt\,dy\\ &=&\int_0^\infty\int_t^\infty(y-t)^{z-1}f(t)e^{-xy}\,dy\,dt =\int_0^\infty\int_0^\infty s^{z-1}f(t)e^{-x(t+s)}\,ds\,dt\\ &=&\int_0^\infty(\int_0^\infty s^{z-1}e^{-xs}\,ds)f(t)e^{-xt}\,dt =\G(z)x^{-z}{\cal L}f(x)~. \end{eqnarray*}