Zeigen Sie die Parsevalsche Identität: für alle $f,g\in L_1(\R^n)$ gilt: $$ \int e^{i\la u,y\ra}\wh f(u)\,g(u)\,du =\int\wh g(x-y)f(x)\,dx $$
  1. Für $g(x)=(4\pi t)^{-n/2}\exp(-\Vert x\Vert^2/4t)$ ist $\wh g(y)=c_ne^{-t\Vert y\Vert^2}$ und mit $t\to\infty$ folgt für $f\in C_c^\infty(\R^n)$: $f(y)=c_n\int e^{i\la u,y\ra}\wh f(u)\,du$. Lösungsvorschlag
  2. Für $f\in C_c^\infty(\R^n)$, $y=0$ und $\bar g=\wh f$ folgt das Plancherel Theorem: $\Vert\wh f\Vert_2=\norm f_2$
Dies folgt unmittelbar aus Fubini: $$ \int e^{i\la u,y\ra}\wh f(u)\,g(u)\,du =\iint e^{-i\la u,x-y\ra}g(u)f(x)\,dx\,du =\iint e^{-i\la u,x-y\ra}g(u)f(x)\,du\,dx =\int\wh g(x-y)f(x)\,dx $$ 1. In diesem Fall erhalten wir aus der Parsevalschen Identität: $$ \int e^{i\la u,y\ra}\wh f(u)e^{-\Vert u\Vert^2/4t}\,du =\int c_n(4\pi t)^{n/2}e^{-t\Vert x-y\Vert^2}f(x)\,dx $$ und mit $t\to\infty$ wegen $c_n=(2\pi)^{-n/2}$: $$ \int e^{i\la u,y\ra}\wh f(u)\,du =(2\pi)^{n/2}\lim_{t\to\infty}\int t^{n/2}e^{-t\Vert x-y\Vert^2}f(x)\,dx =(2\pi)^{n/2}f(y)~. $$ 2. Für $y=0$ und $g\to\bar{\wh g}$ folgt wegen $\cl{\F(g)}=\F^{-1}(\bar g)$: $$ \int \wh f(u)\cl{\wh g(u)}\,du =\int f(x)\bar g(x)\,dx~. $$