Da $(y,z)\mapsto f(z-y)g(y)e^{-i\la z,x\ra}$ integrierbar ist, folgt dies wiederum aus Fubini und der Beziehung $\wh{L_yf}(x)=e^{-i\la x,y\ra}\wh f(x)$:
\begin{eqnarray*}
\wh{f*g}(x)
&=&c_n\iint f(z-y)g(y)e^{-i\la z,x\ra}\,dy\,dz\\
&=&c_n\iint L_yf(z)g(y)e^{-i\la z,x\ra}\,dz\,dy\\
&=&\int\wh{L_yf}(x)g(y)\,dy
=\int e^{-i\la x,y\ra}\wh f(x)g(y)\,dy
=c_n^{-1}\wh f(x)\wh g(x)~.
\end{eqnarray*}
Bemerkung: $f*g$ kann man auch als das Integral über die Funktion $\R^n\rar L_1(\R^n)$, $y\mapsto L_yf\cdot g(y)$ definieren, i.e.
$$
f*g=\int L_yf g(y)\,dy~.
$$
Analoges gilt für die Fourier-Transformierte: mit $e_x(u)\colon=e^{-i\la x,u\ra}$ ist diese gegeben durch das $L_1(\R^n)$ wertige Integral
$$
\wh f=c_n\int f(x)e_x\,dx~.
$$
Da $\wh{L_yf}=e_y\wh f$, folgt daraus unmittelbar:
$$
\wh{f*g}
=\int\wh{L_yf}g(y)\,dy
=\int e_y\wh f g(y)\,dy
=c_n^{-1}\wh f\cdot\wh g~.
$$
Genauer nutzen wir die Stetigkeit von $\F:L_1(\R^n)\rar C_0(\R^n)$, so daß
$$
\F\Big(\int L_yf g(y)\,dy\Big)
=\int\F(L_yf)g(y)\,dy~.
$$
Wir bemerken, daß mit dem linken Integral ein $L_1(\R^n)$ wertiges und mit dem rechte ein $C_0(\R^n)$ wertiges gemeint ist!