Sei $c:[0,L]\rar\C$ eine stückweise glatte, geschlossene Kurve, die
durch ihre Bogenlänge $s$ parametrisiert ist.
Ferner seien $0=s_0 < s_1 < \cdots < s_n=L$, so daß $c|(s_j,s_{j+1})$
glatt ist und $\kappa$ auf allen Intervallen $(s_j,s_{j+1})$ beschränkt.
Versuchen Sie folgende Beziehung zu begründen:
$$
\int\kappa(s)\,ds+\sum\a_j\in2\pi\Z,
$$
wobei $\a_j$ den Winkel bezeichnet, den $c^\prime(s_j-0)$ und $c^\prime(s_j+0)$
einschließen.
1. Ist $c$ stückweise glatt und stetig differenzierbar und $\kappa$ beschränkt,
so ist $\int\kappa(s)\,ds$ ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi$.
2. Falls $c$ stückweise glatt ist, dann ersetzen wir die Kurve $c$ um die Punkte $s_j$ durch Kreisbögen $k_j$ mit dem Öffnungswinkel $\b_j$ und dem Radius $r_j$, und zwar so, daß wir eine stückweise glatte und stetig differenzierbare Kurve erhalten. Da die Krümmung eines Kreisbogens des Radius' $r$ gleich $1/r$ ist, folgt: $\int_{k_j}\kappa(s)\,ds=(1/r_j)\b_jr_j=\b_j$. Lassen wir den Radius dieser Kreisbögen gegen $0$ gehen, so konvergiert $\b_j$ gegen $\a_j$.