Lagrange-Bürmann Formel: Sei $f$ eine in einer Umgebung von $0$ analytische Funktion, so daß $f(0)=0$ und $f^\prime(0)\neq0$. Dann ist $g\colon=f^{-1}$ in einer Umgebung von $0$ analytisch und es gilt: (Lösungsvorschlag) $$ g^{(n)}(0)=\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\Big|_{z=0}\Big(\frac{z}{f(z)}\Big)^n~. $$
Sei $h(z)\colon=z/f(z)^n$ und $c(t)=re^{it}$, dann folgt für hinreichend kleine $r$ nach der Inversionsformel, Proposition sowie der Cauchyschen Integralformel: \begin{eqnarray*} 2\pi ig^{(n)}(0) &=&n!\int_c\frac{zf^\prime(z)}{f(z)^{n+1}}\,dz =-(n-1)!\int_cz\ftd z\Big(\frac1{f(z)^n}\Big)\,dz\\ &=&-(n-1)!\int_ch^\prime(z)-\frac1{f(z)^n}\,dz =(n-1)!\int_c\frac1{f(z)^n}\,dz\\ &=&(n-1)!\int_c\Big(\frac{z}{f(z)}\Big)^n z^{-n}\,dz =2\pi i\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\Big|_{z=0}\Big(\frac{z}{f(z)}\Big)^n~. \end{eqnarray*}