Die Fourier-Transformation $\F$ ist bekanntlich eine unitäre Transformation auf $L_2(\R^n)$. Zeigen Sie, daß $\F$ nur die Eigenwerte $\pm1,\pm i$ besitzen kann. Hinweis: $\F^2$ ist der Paritätsoperator $Uf(x)=f(-x)$.
Für alle $f\in C_c(\R^n)$ ist
$$
\F^{-1} Uf(x)
=c_n\int f(-y)e^{i\la x,y\ra}\,dy
=c_n\int f(y)e^{-i\la x,y\ra}\,dy=
\F f(x)
$$
i.e. $U=\F^2$. Es folgt: $\F^4=1$ und somit gilt für jeden Eigenwert $\l$ von $\F$: $\l^4=1$.