Die Fourier-Transformation
F
ist bekanntlich eine unitäre Transformation auf
L
2
(
R
n
)
. Zeigen Sie, daß
F
nur die Eigenwerte
±
1
,
±
i
besitzen kann. Hinweis:
F
2
ist der Paritätsoperator
U
f
(
x
)
=
f
(
−
x
)
.
Für alle
f
∈
C
c
(
R
n
)
ist
F
−
1
U
f
(
x
)
=
c
n
∫
f
(
−
y
)
e
i
⟨
x
,
y
⟩
d
y
=
c
n
∫
f
(
y
)
e
−
i
⟨
x
,
y
⟩
d
y
=
F
f
(
x
)
i.e.
U
=
F
2
. Es folgt:
F
4
=
1
und somit gilt für jeden Eigenwert
λ
von
F
:
λ
4
=
1
.