Falls für alle $z\in S_{\pi/2}$: $\norm{P_z}\leq C$, dann ist durch $T_sP_tx\colon=P_{t+is}x$ eine stetige Gruppe $T_s$, $s\in\R$, definiert mit dem Generator $-iA$ und es gilt:
$$
T_sx=\lim_{t\dar0}P_{t+is}x~.
$$
1. $T_s$ is wohldefiniert: Falls $P_tx=P_ry=u$, dann folgt für alle $\e > 0$:
$$
P_{r+\e+is}y
=P_{\e+is}P_ry
=P_{\e+is}P_tx
=P_{t+\e+is}x
$$
und mit $\e\dar 0$ aufgrund der Stetigkeit von $z\mapsto P_zx$: $P_{r+is}y=P_{t+is}x$.
2. $T_s$ ist beschränkt:
$$
\norm{P_\e T_sP_tx}
=\norm{P_{t+\e+is}x}
\leq C\Vert P_tx\Vert,
$$
i.e. $\norm{P_\e T_s}\leq C$ und da $\lim_{\e\dar0}P_\e x=x$, folgt: $\norm{T_s}\leq C$.
3. $s\mapsto T_s$ ist eine Halbgruppe: $T_sP_zx\colon=P_{z+is}x$, denn beide Seiten sind analytisch in $z$ und stimmen auf $\R^+$ überein. Somit folgt: $T_sT_rP_tx=T_sP_{t+ir}x=P_{t+ir+is}x=T_{s+r}P_tx$.
4. $s\mapsto T_sx$ ist stetig: Für alle $t > 0$ gilt:
$$
\lim_{s\to0}T_sP_tx=\lim_{s\to0}P_{t+is}x=P_tx
$$
und da $\bigcup_{t > 0}\im P_t$ dicht ist und $T_s$ eine beschränkte Halbgruppe, ist $s\mapsto T_sx$ für alle $x\in X$ stetig.
5. Da $T_s$ stetig ist folgt: $\lim_{t\dar0}T_sP_tx=T_sx$.
6. Für alle $t > 0$ und alle $x\in\dom A$ gilt:
$$
\lim_{s\dar0}\frac{T_sP_tx-P_tx}{s}
=\lim_{s\dar0}\frac{P_{t+is}x-P_tx}{s}
=i\lim_{s\dar0}\frac{P_{t+is}x-P_tx}{is}
=i\frac{d}{dz}\Big|_{z=t}P_zx
=-iP_tAx~.
$$
Da der Generator $B$ von $s\mapsto T_s$ abgeschlossen ist, folgt mit $t\dar 0$: $x\in\dom B$ und $Bx=-iAx$, i.e. $B$ ist eine Erweiterung von $-iA$. Falls umgekehrt $P_tx\in\dom B$, dann existiert der erste Limes und daher gilt wiederum: $BP_tx=-iAP_tx$, i.e. $P_tx\in\dom A$ und $(P_tx,-iAP_tx)\to(x,Bx)$, also weil $A$ abgeschlossen ist: $x\in\dom A$ und $-iAx=Bx$.